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  • Convergence uniforme (suite de fonctions)

    Formulaire de report


    En bref

    Dire que la convergence est uniforme revient à dire que la convergence se fait à la même vitesse dans tout l'intervalle

    Définition

    Définition :
    La série \(\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\,dx\) converge uniformément en \(x\) sur \([0,1]\) si $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\forall p\in{\Bbb N},\forall x,\qquad\left|\sum^{n+p}_{k=n} f_k(x)\right|\lt \varepsilon$$     Définition :
    On dit qu'une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge uniformément vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) sur \(X\) si on a la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad n\geqslant N_\varepsilon\implies\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$

    Caractérisation

    Critère de Cauchy (Convergence uniforme)

    Par la borne supérieure

    Soit \(I\) un intervalle de \({\Bbb R}\) et \(f_n,n\in{\Bbb N}\) une suite de fonctions définies sur \(I\) et \(f\) une fonction également définie sur \(I\)
    La suite \(f_n\) converge vers \(f\) uniformément sur \(I\) lorsque \(n\) tend vers l'origine si \(m_n=\sup_{i\in I}\lvert f_n(t)-f(t)\rvert\) a pour limite \(0\)
    (Suite convergente, Borne supérieure, Erreur)
    Une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge uniformément vers \(f:X\to{\Bbb R}\) sur \(X\) si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad n\geqslant N_\varepsilon\implies\sup_{x\in X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \varepsilon$$
    (Borne supérieure)

    Propriétés

    Théorème d'échange des limites

    Liens avec la convergence simple

    Remarque :
    La convergence uniforme entraîne la convergence simple avec $$N_{\varepsilon,x}={{N_\varepsilon\qquad(\forall x\in X)}}$$
    (Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))

    Continuité des limites uniformes

    Théorème (continuité des limites uniforme) :
    Soit \(X\) un domaine (de \({\Bbb R}\)) et \(x_0\in X\)
    Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) qui converge au moins simplement vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) sur le domaine \(X\)
    Si...
    1. chaque fonction \(f_n:X\to{\Bbb R}\) est continue en \(x_0\)
    2. la convergence \(f_n\to f\) est uniforme au moins sur un voisinage de \(x_0\) (i.e. Sur un domaine \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\cap X\subset X\) avec \(\delta\gt 0\))

    Alors la fonction limite \(f:X\to{\Bbb R}\) est aussi continue en \(x_0\)
    (Continuité, Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions), Voisinage)
    Consigne: Démontrer la propriété suivante :
    Soit \(X\) un domaine (de \({\Bbb R}\)) et \(x_0\in X\)
    Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) qui converge au moins simplement vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) sur le domaine \(X\)
    Si...
    1. chaque fonction \(f_n:X\to{\Bbb R}\) est continue en \(x_0\)
    2. la convergence \(f_n\to f\) est uniforme au moins sur un voisinage de \(x_0\) (i.e. Sur un domaine \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\cap X\subset X\) avec \(\delta\gt 0\))
    Alors la fonction limite \(f:X\to{\Bbb R}\) est aussi continue en \(x_0\)

    Séparation de la déf de la continuité via inégalité triangulaire
    On a : $$\begin{align}\lvert f(x)-f(x_0)\rvert&=\lvert f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(x_0)+f_n(x_0)-f(x_0)\rvert\\ &\leqslant\lvert f(x)-f_n(x)\rvert+\lvert f_n(x)-f_n(x_0)\rvert+\lvert f_n(x_0)-f(x_0)\end{align}$$

    Montrer que les trois bouts sont \(\lt \frac\varepsilon3\)

    Le tout répond à la définition de la continuité \(\forall\varepsilon\) \(\Rightarrow\) continu

    Soit \(\varepsilon\gt 0\) donné et \(f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f\) sur \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\cap X\)
    Donc : $$\exists N_\varepsilon,\forall x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[,\qquad\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3$$
    On prend \(n=n_0\) tel que \(n_0\geqslant N_\varepsilon\) fixé dans notre inégalité
    Comme \(f_{n_0}\) est continue en \(x_0\) (par hypothèse), on peut trouver \(\eta\gt 0\) (choisi en particulier, on peut supposer \(\eta\lt \delta\))
    Pour $$\underbrace{x\in X,\lvert x-x_0\rvert\lt \eta}_{x\in X\cap\;] x_0-\eta,x_0+\eta[}\implies\lvert f_{n_0}(x)-f_{n_0}(x_0)\rvert\lt \frac\varepsilon3$$
    Donc :

    1. \(\lvert f(x)-f_{n_0}(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3\) \(\forall x\in\;]x_0-\delta,x_0+\delta[\) par convergence uniforme \(f_n\to f\)
    2. \(\lvert f_{n_0}(x)-f_{n_0}(x_0)\rvert\lt \frac\varepsilon3\) si \(\lvert x-x_0\rvert\lt \eta\) par continuité de \(f_{n_0}\) pour \(n=n_0\) fixé
    3. \(\lvert f_{n_0}(x_0)-f(x_0)\rvert\lt \frac\varepsilon3\) par convergence uniforme \(f_n\to f\)


    D'où $$\lvert x-x_0\rvert\lt \eta\implies\lvert f(x)-f(x_0)\rvert\lt \varepsilon$$
    Comme on a ce résultat \(\forall\varepsilon\gt 0\) donné, ceci prouve la continuité de \(f\) en \(x_0\)

    (Continuité)



    Théorème d'intégration des limites uniformes

    théorème d'intégration des limites uniformes :
    Si \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) au point \([a,b]\), alors \(f\) est continue par morceaux (intégrable) et \(\int^b_a f_n\longrightarrow\int^b_af\). Autrement dit, $${{\int^b_a f_n(x)\,dx}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{{\int^b_a f(x)\,dx}}$$
    (Intégrale - Intégration)
    Consigne: Montrer que si \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) au point \([a,b]\), alors \(f\) est continue par morceaux (intégrable) et \(\int^b_a\longrightarrow\int^b_af\) $${{\int^b_a f_n(x)\,dx}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{{\int^b_a f(x)\,dx}}$$
    (théorème d'intégration des limites uniformes)

    Intégrale de la différence + inégalité triangulaire
    $$\begin{align}\left|\int^b_af(x)\,dx-\int^b_a f_n(x)\,dx\,\right|&=\left|\int^b_a(f(x)-f_n(x))\,dx\,\right|\\ &\leqslant\int^b_a\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\,dx\end{align}$$

    Convergence uniforme
    On se donne \(\varepsilon\gt 0\)
    Comme \(f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f\), on peut trouver \(N_\varepsilon\) tel que $$\forall x\in[a,b],\qquad n\geqslant N_\varepsilon\implies\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \frac\varepsilon{b-a}$$

    Conclusion

    On a alors : $$\begin{align} n\geqslant N_\varepsilon\implies \left|\int^b_a f-\int^b_af_n\,\right|&\leqslant\int^b_a\underbrace{\lvert f(x)-f_n(x)\rvert}_{\lt \frac\varepsilon{b-a}}\,dx\\ &\leqslant\int^b_a\frac\varepsilon{b-a}\,dx\\ &\leqslant\varepsilon\end{align}$$ d'où le résultat : \(n\geqslant N_\varepsilon\implies\lvert\int^b_af-\int^b_af_n\rvert\lt \varepsilon\)
    Comme ceci est valable \(\forall\varepsilon\gt 0\), on en conclut bien \(\int^b_af_n\longrightarrow\int^b_af\)

    Corollaire du théorème d'intégration des limites uniformes :
    Soit \(f_n:I\to{\Bbb R}\) une suite de fonctions continues par morceaux où \(I\subset{\Bbb R}\) est un intervalle
    On suppose \(f_n\overset{\text{CVU} }\longrightarrow f\) sur \(I\)
    Si on fixe \(x_0\in I\) et on pose $$F_n(x)={{\int^x_{x_0}f_n(t)\,dt}}$$
    Alors on a \(F_n(x)\longrightarrow F(x)\) avec $$F(x)={{\int^x_{x_0}f(t)\,dt}}$$
    Démonstration : on applique le théorème d'intégration des limites uniformes sur l'intervalle \([x,x_0]\subset I\)
    Corollaire du théorème d'intégration des limites uniformes :
    Soit \(g_n:I\to{\Bbb R}\) une suite de fonctions de classe \(\mathscr C^1\) par morceaux
    On suppose \(\forall n,g_n(x_0)=0\) pour un point \(x_0\in X\) fixé et que la suite \(g'_n:I\to{\Bbb R}\) convergent uniformément vers une fonction \(f\) sur \(I\)
    Alors la suite \(g_n:I\to{\Bbb R}\) converge vers une fonction \(g:I\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(I\) et on a : $$g'=f=\lim_n g'_n$$
    Démonstration : on utilise \(g_n(x)=\underbrace{g_n(x_0)}_{=0}+\int^x_{x_0}g'_n(t)\,dt\) et on appliquele corollaire précédent à la suite \(g'_n=f\) pour aboutir à \(\lim_n\underbrace{\int^x_{x_0}g'_n(t)\,dt}_{g_n(x)}=\underbrace{\int^x_{x_0}f(t)\,dt}_{:=g(x)}\)
    (Théorème fondamental d'analyse)

    Limite de l'intégrale

    Théorème :
    Soit \(f_n,f:[a,b]\to{\Bbb R}\) continues telles que \(f_n\to f\) uniformément
    Alors $${{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_I f_n(x)\,dx}}={{\int_I\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\,dx=\int_If (x)\,dx}}$$
    (Continuité, Intégrale - Intégration)

    Limite de la dérivée

    Théorème :
    Si \(\exists x_0\in I\) tel que \(g_n(x_0){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} g(x_0)\) (ou si \(g_n\to g\) simplement) et si \((g'_n)_n\) converge uniformément, alors \(g\in\mathcal C^1\) et \(g'=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } g_n'\)

    Méthodes

    Consigne: Méthode pour prouver la convergence uniforme

    Trouver la convergence simple \(f(x)=\lim_nf_n(x)\)

    Étudier si $$R_n=\sup_{x\in X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\longrightarrow0$$

    (Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))



    Exercices

    Consigne: Soit la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) définie par $$f_n(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$$
    Pour tout \(x\in{\Bbb R}\), déterminer \(f(x)=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\)
    \((f_n)_n\) converge-t-elle uniformément vers \(f\) ?

    Étudier les limites en fonction de \(x\)

    1. si \(\lvert x\rvert\lt 1\), \(f_n(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    2. si \(\lvert x\rvert\gt 1\), \(f_n(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\)
    3. si \(\lvert x\rvert=1\), \(f_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\frac12\)

    On a donc : $$f(x)=\begin{cases}0&\text{si}\quad\lvert x\rvert\lt 1\\ 1/2&\text{si}\quad\lvert x\rvert=1\\ 1&\text{si}\quad \lvert x\rvert\gt 1\end{cases}$$

    Soit \(\varepsilon\gt 0\) et \(x\in{\Bbb R}\)
    On cherche \(n\) tel que $$\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\lt \varepsilon\tag{*}$$ dans les différents cas :

    1. cas \(\lvert x\rvert\lt 1\) : $$\begin{align}(\text*)&\iff x^{2n}\lt \varepsilon(1+x^{2n})\\ &\iff(1-\varepsilon)x^{2n}\lt \varepsilon\\ &\iff x^{2n}\lt \frac\varepsilon{1-\varepsilon}&&\quad\text{ pour }\quad0\lt \varepsilon\lt 1\\ &\iff2n\ln\lvert x\rvert\lt \ln\left(\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)&&\quad\text{ pour }\quad0\lt \lvert x\rvert\lt 1\\ &\iff{n\gt \frac12\frac{\ln\left(\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)}{\ln\lvert x\rvert}}&&\quad\text{ car }\; \lvert x\rvert\lt 1\end{align}$$

    • On a donc $$n_{\varepsilon,x}=E\left(\frac12\frac{\ln\left(\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)}{\ln\lvert x\rvert}\right)+1$$

    Et pour \(0\lt \varepsilon\lt 1\) fixé, on remarque que $$\underset{x\gt 0}{\lim_{x\to1}}n_{\varepsilon,x}=+\infty$$ donc la suite de fonctions \((f_n)_n\) ne converge pas uniformément vers \(f\)

    (Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))


    Consigne: La suite de fonction \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=e^{-nx^2}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}\) ?

    Étudier la convergence simple

    1. si \(x=0\), alors \(f_n(0)=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\)
    2. si \(x\ne0\), alors \(f_n(x)=e^{-nx^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    \((f_n)\) converge donc simplement vers \(f\), avec $$f(x)=\begin{cases}1&\text{si}\quad x=0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

    Pour la convergence uniforme, regardons si \(\sup_x\lvert f_n(x)-f(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    $$\begin{align}\underbrace{\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert}_{\geqslant0}&=\sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\\ &=\sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert e^{-nx^2}-0\rvert\\ &=\sup_{x\in{\Bbb R}^*} e^{-nx^2}\end{align}$$
    \(1\) est un majorant de \(e^{-nx^2}\) pour \(x\in{\Bbb R}^*\) et \(\displaystyle\underset{x\ne0}{\lim_{x\to0}}e^{-nx^2}=1\), donc \(\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=1\ne0\)
    \((f_n)_n\) converge donc simplement mais pas uniformément

    (Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))


    Consigne: La suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}\) telles que $$g_n(x)=\frac n{n+x}e^{-x}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}_+\) ?

    Convergence simple
    $$g_n(x)=\frac{1}{1+\frac xn}e^{-x}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-x}$$

    Simplifier l'expression de la preuve de la convergence uniforme
    $$\begin{align}\lvert g_n(x)-g(x)\rvert&=\left|\frac n{n+x}e^{-x}-e^{-x}\right|\\ &=e^{-x}\frac{x}{n+x}\end{align}$$
    (\(g_n)_n\) converge vers \(g\) uniformément si et seulement si \(\sup_{x\geqslant0}\lvert g_n(x)-g(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

    Majoration
    Remarquons que si on trouve une suite de majorants \((M_n)\) $$\lvert g_n(x)-g(x)\rvert\leqslant \underbrace{M_n}_{\text{indépendant de }x}$$ telle que \(M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), alors \(\lvert g_n(x)-g(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) d'après le théorème des gendarmes

    Étude d'un majorant
    Étudions \(\varphi(x)=xe^{-x}\) :
    \(\varphi\) est continue et on a \(\varphi(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0\)
    De plus \(\varphi^\prime(x)=e^{-x}(1-x)\) $$\begin{array}{c|ccccc}x&0&&1&&+\infty\\ \hline\varphi^\prime&&+&0&-\\ \hline\varphi&0&\nearrow&\varphi(1)=\frac1e&\searrow&0\end{array}$$

    Donc $$\lvert g_n(x)-g(x)\rvert=\frac{xe^{-x}}{n+x}\leqslant\frac{e^{-1}}{n+x}\leqslant\frac1{en}=M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ \((g_n)\) tend donc vers \(g\) uniformément

    (Théorème des gendarmes - Théorème de l'encadrement)


    Consigne: La suite de fonctions \(h_n:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}\) telles que $$h_n(x)=\begin{cases} e^{-x}&\quad\text{ pour }\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ e^{-n}&\quad\text{ pour }\quad x\gt n\end{cases}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}_+\) ?

    Convergence simple \(\to\) toujours dans le premier cas
    Soit \(x\geqslant0\) (fixé)
    $$\forall n\geqslant x,h_n(x)=e^{-x}$$
    Autrement dit, la suite \((h_n(x))_n\) est constante à partir du rang \(E(x)+1\)

    Convergence uniforme par majoration

    Soit \(n\geqslant0\) (fixé)
    $$\begin{align}\lvert h_n(x)-h(x)\rvert&=\begin{cases} \lvert e^{-x}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ \lvert e^{-n}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\\ &=\begin{cases}0&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ \lvert e^{-n}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\\ &=\begin{cases}0&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ e^{-n}-e^{-x}&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\end{align}$$
    Et \(\forall x\gt n,0\leqslant e^{-n}-e^{-x}\leqslant e^{-n}=M_n\) avec \(M_n\) un majorant indépendant de \(x\) et \(M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    On a donc convergence uniforme de \(h_n\) vers \(h\)

    (Théorème des gendarmes - Théorème de l'encadrement)


    Consigne: Soit \(f_n:[0,1]\to{\Bbb R}\) définie par :$$f_n(x)=\begin{cases} nx-\frac1n&&\text{si}\quad x\in[0,\frac1n]\\ 1-x&&\text{si}\quad x\in[\frac1n,1]\end{cases}$$ étudier la convergence simple et uniforme de \((f_n)_n\)

    Convergence simple

    1. si \(x=0\), \(f_n(0)=-\frac1n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    2. si \(x\in\,]0,1]\), \(\forall n\) tels que \(x\gt \frac1n\) (\(\iff n\gt \frac1x\)), \(f_n(x)=1-x\). Donc si \(n_0=E(\frac1x)+1\), alors \(\forall n\geqslant n_0,f_n(x)=1-x\)
    Donc la suite de nombres réels \((f_n(x))_n\) est constante à partir du rang \(n_0\) et donc convergente vers \(1-x\) $$f(x)=\begin{cases}0&&\text{si}\quad x=0\\ 1-x&&\text{si}\quad x\in\,]0,1]\end{cases}$$

    Convergence uniforme via la continuité

    On a $$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}1-x=1\ne f(0)$$ \(f\) n'est donc pas continue, donc la convergence n'est pas uniforme

    ( (Par la continuité))


    Consigne: Soit \(f_n:[0,1]\to{\Bbb R}\) définie par :$$f_n(x)=\begin{cases} n^2x(1-nx)&&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant\frac1n\\ 0&&\text{si}\quad x\gt \frac1n\end{cases}$$ étudier la convergence simple et uniforme de \((f_n)_n\)

    Convergence simple

    1. si \(x=0\), alors \(\forall n,\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(0)=f(0)=0\)
    2. si \(x\gt 0\) est fixe, alors \(\forall n\gt \frac1x,f_n(x)=0\). À nouveau, la suite \((f_n(x))_n\) est constante égale à \(0\) à partir d'un certain rang (dépendant de \(x\))
    Donc \(\forall x\in[0,1],f_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} f(x)=0\)

    Convergence uniforme via étude de fonction et recherche de maximum

    $$\begin{align}\sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{x\in[0,1]}f_n(x)\\ &=\sup_{x\in[0,1/n]} f_n(x)\end{align}$$
    Étudions \(f_n(x)=n^2x(1-nx)\) pour \(x\in[0,\frac1n]\) :

    1. \(f_n(0)=f_n(\frac1n)=0\)
    2. \(f_n\geqslant0\) sur \([0,\frac1n]\)
    $$f^\prime_n(x)=n^2\left(1-nx-nx\right)=0\iff x=\frac1{2n}$$
    Donc $$\begin{align}\sup_{x\in[0,1/n]} f_n(x)=f\left(\frac1{2n}\right)=\frac n4\cancel{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$ la convergence n'est donc pas uniforme


    Consigne: On considère la suite de fonctions \(f_n:\;]0,+\infty[\to{\Bbb R},n\gt 0\), telles que $$f_n(x)=\frac{nx^2e^{-nx}}{(1-e^{-x})^2}$$ pour \(x\in\;]0,+\infty[\)
    1. Montrer que cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur \(]0,+\infty[\)
    2. Montrer que la convergence est uniforme sur tout domaine \([a,+\infty[\), pour \(a\gt 0\)
    3. Étudier \(\lim_{x\to0}f_n(x)\). La convergence de notre suite de fonctions \(f_n\) peut-elle être uniforme sur \(]0,+\infty[\) ?

    Convergence simple \(\to\) croissances comparées
    $$f_n(x)=\frac{x^2}{(1-e^{-x})^2}\cdot\underbrace{ne^{-nx}}_{\to0\text{ par c.c}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ \(f_n\) converge donc simplement vers \(f_n:\;]0,+\infty[\) la fonction nulle

    Convergence uniforme \(\to\) décomposer \(f_n\) en deux fonctions
    $$\begin{align} f_n(x)&=\frac{x^2}{(1-e^{-x})^2}\cdot ne^{-nx}\\ &=\frac{x^2e^{-2x}}{(1-e^{-x})^2}\left( e^{2x}ne^{-nx}\right)\\ &=g^2(x)h_n(x)\quad\text{ avec }\quad g(x)=\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}\quad\text{ et }\quad h_n(x)=ne^{x(2-n)}\end{align}$$

    Étude de \(g\) pour trouver un majorant (son maximum)
    Étude de \(g\) sur \(]0,+\infty[\) : $$\begin{align}\lim_{x\to0}g(x)&=\lim_{x\to0}\frac x{e^x-1}=1\tag{*}\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)&=0\tag{**}\end{align}$$
    \((^*)\) : par croissances comparées ou via utilisation d'un DL
    \((^{**})\) : par croissances comparées
    Soit \(G(x)=\frac1{g(x)}\)
    Alors $$G^\prime(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$ donc \(G\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\), donc \(G(x)\geqslant G(1)\) \(\forall x\), et donc \(g(1)\geqslant g(x)\) \(\forall x\geqslant0\)
    $$\begin{array}{c|ccccc}&0&&1&&\infty\\ \hline g&1&\nearrow&\underset{\max}{g(1)}&\searrow&0\end{array}$$
    Donc \(g(1)=\frac1{e-1}\) est donc un majorant de \(g\)

    Étude de \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } h_n(x)\) \(\to\) conclusion sur convergence uniforme sur \([a,+\infty[\)
    On a donc : $$\begin{align}0&\leqslant f_n(x)\leqslant g^2(x)h_n(x)\\ 0&\leqslant f_n(x)\leqslant\left(\frac1{e-1}\right)^2h_n(x)\end{align}$$
    Par conséquent, $$\sup_{x\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert\leqslant\frac1{(e-1)^2}\sup_{x\geqslant a} h_n(x)$$ et donc, \(f_n\to0\) uniformément sur \([a,+\infty[\) si \(\sup_{x\geqslant a}h_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    Si \(n\geqslant3\), \(2-n\lt 0\) et donc \(h_n(x)\leqslant ne^{(2-n)a}\quad\forall x\geqslant a\)
    Et donc \(h_n(a){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    Conclusion ; \(\forall a\gt 0,(f_n)_n\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\)

    Convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\) avec \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(\lim_{x\to0}f_n(x))\)

    Soit \(n\gt 0\)
    $$\begin{align}\lim_{x\to0} f_n(x)&=\lim_{x\to0}\left(\frac x{1-e^{-x}}\right)^2\cdot ne^{-nx}\\ &=n&&\text{(en utilisant les DL)}\end{align}$$
    On a donc \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x))\ne\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(\displaystyle\lim_{x\to0}f_n(x))\), donc la convergence n'est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\)


    Consigne: On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=x^2\exp(-n^2x^2)$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)
    1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément sur \({\Bbb R}\) vers la fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
    2. Quelle est la limite de la suite $$I_n=\int^1_0x^2\exp(-n^2x^2)\,dx$$

    Convergence simple

    1. si \(x=0\), alors \(\forall n\in{\Bbb N},f_n(x)=0\)
    2. si \(x\ne0\), alors \(f_n(x)=x^2e^{-n^2x^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    \((f_n)_n\) converge donc simplement vers la fonction nulle sur \({\Bbb R}\)

    Convergence uniforme via changement de variable
    $$\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=\sup_{t\geqslant0} t\exp(tn^2)$$

    Majorant
    Soit \(\varphi_n(t)=t\exp(-n^2t)\)
    Alors \(\varphi^\prime_n(t)=(1-n^2t)\exp(-n^2t)=0\) si \(t=\frac1{n^2}\)
    $$\begin{array}{c|ccccc}&0&&1/n^2&&\infty\\ \hline\varphi^\prime_n&&\nearrow&0&\searrow\\ \hline\varphi_n&0&\nearrow&\frac1{en^2}&\searrow&0\end{array}$$
    Puisque \(\varphi(\frac1{n^2})=\frac1{en^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), \(f\) converge uniformément sur \({\Bbb R}\)

    Calcul de la limite de l'intégrale via convergence uniforme

    $$\begin{align}\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } I_n&=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^1_0x^2e^{-n^2x^2}\,dx\\ &\overset{\text{CVU}}=\int^1_0\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x^2e^{-n^2x^2}\,dx\\ &=\int^1_00\,dx\\ &=0\end{align}$$

    ( (Théorème d'intégration des limites uniformes))


    Consigne: On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)
    1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément vers une fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
    2. Étudier la convergence uniforme de la suite \(f_n^\prime\)

    Convergence simple
    \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)=\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\) donc \(f_n\) converge simplement vers \(f(x)=\lvert x\rvert\)

    Convergence uniforme
    On ne peut pas dériver \(f\) car la valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\)
    $$\begin{align}\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{x\in{\Bbb R}}\left|\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}-\sqrt{x^2}\right|\\ &\leqslant\sup_{x\in{\Bbb R}}\left(\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac1{n^2}}-\sqrt{x^2}\right)\\ &\leqslant\sup_{x\in{\Bbb R}}\frac1n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$

    La convergence uniforme ne dit rien sur la dérivée, donc on recommence
    \(f^\prime_n(x)=\frac x{\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}}\)
    Donc $$f^\prime_n(x)\longrightarrow\frac x{\lvert x\rvert}=\begin{cases}1&\text{si}\quad x\gt 0\\ -1&\text{si}\quad x\lt 0\\ 0&\text{si}\quad x=0\end{cases}$$

    Convergence uniforme via continuité

    Les dérivées convergence en tout point de \({\Bbb R}\), mais pas uniformément car \(\forall n,f_n^\prime\) est continue mais la limite \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n^\prime\) n'est pas une fonction continue
    (en effet, \(f_n^\prime\) ne devrait pas converger uniformément car la limite uniforme de \(f_n\) (\(\lvert x\rvert\)) n'est pas dérivable)

    ( (Continuité des limites uniformes))


    Consigne: On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\), \(n\gt 0\), telles que $$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{\sqrt n}$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)
    1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément vers une fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
    2. Observer que la suite de fonctions \(f_n^\prime\) diverge en tout point \(x\in{\Bbb R}\)

    Convergence simple et uniforme (triviale)
    On a : $$0\leqslant\lvert f_n(x)\rvert\leqslant\frac{\lvert\sin(nx)\rvert}{\sqrt n}\leqslant\frac1{\sqrt n}$$ donc \(f_n\) converge vers la fonction nulle, uniformément

    Divergence de \(f_n^\prime\) : montrer que si \(f^\prime_n\) est minoré, alors il existe une sous-suite telle que \(f^\prime_{\varphi(n)}\) diverge. Donc soit \(f^\prime_n\) diverge, soit \(f^\prime_{\varphi(n)}\) diverge. \(f^\prime_n\) diverge donc dans les deux cas

    \(f^\prime_n(x)=\sqrt n\cos (nx)\)
    $$\cos(2nx)=\cos^2(nx)-\sin^2(nx)=2\cos^2(nx)-1$$
    Si \(x=0\), alors \(f^\prime_n(0)=\sqrt n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\)
    Si \(n\in{\Bbb N}\) et \(x\in{\Bbb R}^*\). Si \(n\) et \(x\) sont tels que \(\lvert\cos(nx)\rvert\leqslant\frac1{n^\alpha}\) avec \(\alpha\lt \frac12\) alors : $$\begin{align}\lvert\cos(2nx)\rvert&=\lvert2\cos^2(nx)-1\rvert\\ &\geqslant\lvert 1-2\cos^2(nx)\rvert\\ &=1-2\cos^2(nx)\\ &\geqslant1-\frac2{n^{2\alpha}}\end{align}$$
    Soit \(x\in{\Bbb R}^*\) et \(n\) assez grand
    Alors $$\begin{align}\lvert\cos(nx)\rvert\geqslant\frac1{n^\alpha}&\quad\text{ ou }\quad \lvert\cos (2nx)\rvert\geqslant\frac12\\ \implies\lvert f^\prime_n(x)\rvert\geqslant n^{1/2-\alpha}&\quad\text{ ou }\quad\lvert f^\prime_{2n}(x)\rvert\geqslant\frac{\sqrt n}2\end{align}$$


    Consigne: On considère la suite de fonction \((f_n)_n\) définie sur \([0,1]\) par $$f_n(x)=\frac{1+x\cos(x^2)}{1+n\ln(1+x)+n^2xe^x}$$
    1. Montrer que \((f_n)_n\) converge simplement mais pas uniformément sur \([0,1]\)
    2. Si \(0\lt r\lt 1\), montrer que \((f_n)_n\) converge uniformément sur \([r,1]\)
    3. Montrer que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^1_0f_n(x)\,dx=0$$

    Convergence simple

    1. pour \(x=0\), \(f_n(0)=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\)
    2. pour \(x\in\;]0,1]\), \(f_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    \((f_n)_n\) converge donc simplement sur \(]0,1]\) vers la fonction \(f(x)=\begin{cases}1&&\text{si}\quad x=0\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\)

    Convergence uniforme via continuité
    La limite \(f\) de \((f_n)_n\) n'est pas continue alors que toute les fonctions \(f_n\) sont continues. La limite n'est donc pas uniforme

    Question 2 en majorant à la main
    Soit \(0\lt r\lt 1\)
    $$\begin{align}\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\frac{1+x\cos x^2}{1+n\ln(1+x)+n^2xe^x}\\ &\leqslant\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\frac{2}{n\ln(1+r)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$
    On a donc la convergence uniforme

    Séparation : première intégrale converge par convergence uniforme
    On a $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_0^1f_n(x)\,dx=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_0^rf_n(x)\,dx+\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_r^1f_n(x)\,dx$$
    $$\forall r\in\;]0,1[,\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_r^1f_n(x)\,dx=\int^1_r\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\,dx=0\tag1$$ car \((f_n)_n\) converge uniformément sur \([r,1]\)

    Majoration \(\to\) deuxième intégrale converge si \(r\to0\)
    Sur \(x\in[0,r]\), $$0\leqslant f_n(x)\leqslant\frac{1+r}{1}=1+r$$, et donc $$0\leqslant\int^r_0f_n(x)\,dx\leqslant\int^r_11+r\,dx=r(1+r)\underset{r\to0}\longrightarrow0\tag2$$

    Vérifier que la première intégrale converge toujours avec \(r\to0\) (non fixé) \(\to\) conclusion

    Soit \(\varepsilon\gt 0\)
    Comme \(\displaystyle\lim_{r\to0} r(1+r)=0\), \(\exists r_\varepsilon\gt 0,r_\varepsilon(1+r_\varepsilon)\lt \frac\varepsilon2\)
    Par \((1)\), avec \(r=r_\varepsilon\), \(\exists r_\varepsilon,\forall n\geqslant n_\varepsilon\), $$0\leqslant\int^1_rf_n(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2$$
    $$(2)\implies\forall\varepsilon\gt 0,\exists n\geqslant n_\varepsilon,\qquad0\leqslant\int^1_0f_n(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$$


    Consigne: Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ \((a_n)_n\) est décroissante et convergente
    Montrer que pour tout \(\varepsilon\in\,]0,\pi/4[\), la suite de fonctions \((\tan^nx)_n\) converge uniformément sur \([0,\pi/4-\delta]\) vers \(0\)

    Convergence simple
    $$0\leqslant\tan x\lt 1\implies\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\tan^nx=0$$ donc $$\tan^n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}1&\text{si}\quad x=\pi/4\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

    Pas continuité \(\to\) pas CVU
    \(f_n\to f\), mais \(f\) n'est pas continue en \(1\), donc on n'a pas la CVU sur \([0,\pi/4]\)

    CVU via majoration

    \(\forall x\in[0,\pi/4-\delta]\), on a $$0\leqslant\tan^nx\leqslant\tan^n\left(\frac\pi4-\delta\right)$$
    Et donc on a : $$\sup_{0\leqslant x\leqslant\pi/4-\delta}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=\tan^n\left(\frac\pi4-\delta\right){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$


    Consigne: Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ \((a_n)_n\) est décroissante et convergente
    Pour tout \(\varepsilon\in\,]0,\pi/4[\), la suite de fonctions \((\tan^nx)_n\) converge uniformément sur \([0,\pi/4-\delta]\) vers \(0\)
    En déduire que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx=0$$

    Décomposer l'intégrale
    $$\int^{\pi/4}_0f_n(x)\,dx=\int^a_0f_n(x)\,dx+\int^{\pi/4}_af_n(x)\,dx$$avec \(0\lt a=\frac\pi4-\delta\lt \frac\pi4\)

    Majorer l'intégrale embêtante
    On a $$0\leqslant\int^{\pi/4}_a\tan^nx\,dx\leqslant\int^{\pi/4}_a1\,dx=\delta$$

    Majorer la somme des intégrales par \(\frac\varepsilon2\)
    Montrons que \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell=0\)
    Soit \(\varepsilon\gt 0\). Fixons \(\delta\gt 0,\delta\lt \frac\varepsilon2\) (\(\delta\lt \frac\pi4\))
    Alors $$0\leqslant a_n=\int ^a_0f_n(x)\,dx+\delta\lt \int^a_0 f_n(x)\,dx+\frac\varepsilon2$$

    Majoré par un \(\varepsilon\) \(\to\) convergent

    Or, pour \(\delta\), et donc pour \(a\) fixé, on a \(\int^a_0f_n(x)\,dx{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
    Et donc $$\exists n_\varepsilon,\forall n\geqslant n_\varepsilon,0\leqslant\int ^a_0f(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2$$ et donc \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell=0\)


  • Rétroliens :
    • Convergence au sens de l'énergie
    • Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions)
    • Convergence uniforme (série de fonctions)
    • Critère de Cauchy
    • Distance de la convergence uniforme
    • Intégrale - Intégration
    • Limite uniforme